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물리계의 양태와 수학 개념 간의 관계를 다룬 『실체에 이르는 길』 제1권. 세계적인 석학 로저 펜로즈의 8년 만의 역작으로, 피타고라스 정리에서 트위스터 이론까지 물리학을 망라하여 담아낸 책이다. 미시세계의 입자에서 별과 행성에 이르는 거시적 스케일까지 우주 만물의 행동 양식을 흥미로운 이야기 형식으로 풀어낸다. 만물의 물리적 거동과 수학이론 사이의 아름답고도 심오한 관계를 분명하게 보여주고 있다. 또한 현대물리학의 최대 난제인 ‘상대성이론과 양자역학의 통합’의 문제점과 가능성을 다양한 각도에서 조명하여 흥미로운 결론을 이끌어냈다.
저자: 로저 펜로즈
서문
감사의 글
기호설명
입문
제1장 과학의 뿌리
1.1 이 세계를 지금과 같은 모습으로 만든 힘의 원천은 무엇인가?
1.2 수학적 진리
1.3 플라톤의 이상적 수학세계는 정말로 존재하는가?
1.4 세 가지 세계와 세 개의 미스터리
1.5 선과 진리, 그리고 아름다움
제2장 고대의 정리와 현대의 질문
2.1 피타고라스의 정리
2.2 유클리드의 공준
2.3 닮음을 이용한 피타고라스 정리의 증명
2.4 쌍곡기하학과 등각표현
2.5 쌍곡기하학의 다른 표현법
2.6 쌍곡기하학의 역사
2.7 물리적 공간과의 관계
제3장 물리적 세계에 존재하는 수(數)
3.1 피타고라스에게 닥친 대 재난
3.2 실수체계
3.3 현실세계에 존재하는 실수(實數)
3.4 자연수는 물리적 세계 없이도 존재할 수 있을까?
3.5 물리적 세계에 존재하는 불연속 수
제4장 마법 같은 복소수
4.1 마법의 수I
4.2 복소수를 이용한 방정식 해법
4.3 멱급수의 수렴
4.4 캐스퍼 베셀의 복소평면
4.5 만델브로트 집합
제5장 로그, 지수, 제곱근의 기하학적 성질
5.1 복소대수의 기하학적 성질
5.2 복소 로그함수
5.3 다가성(多價性, multiple valuedness), 자연로그
5.4 복소지수
5.5 현대입자물리학과 복소수의 관계
제6장 실함수의 미분과 적분
6.1 함수란 무엇인가?
6.2 함수의 기울기
6.3 고계 도함수 : C-매끈한 함수
6.4 함수에 대한 오일러식개념
6.5 미분과 관련된 공식들
6.6 적분
제7장 복소함수의 미분과 적분
7.1 복소함수의 매끈함 : 복소해석함수
7.2 경로적분
7.3 매끈한 복소함수의 멱급수 전개
7.4 해석적 접속
제8장 리만 곡면과 복소사상
8.1 리만 곡면의 기본개념
8.2 등각사상
8.3 리만 구면
8.4 컴팩트 리만 곡면의 종류
8.5 리만사상 정리
제9장 푸리에 분해와 초함수
9.1 푸리에 급수
9.2 원주 상에서 정의된 함수
9.3 리만 구면의 진동수 분할
9.4 푸리에 변환
9.5 푸리에 변환의 진동수 분할
9.6 어떤 함수가 적절한가?
9.7 초함수
제10장 곡면
10.1 복소차원과 실차원
10.2 함수의 매끈함과 편미분
10.3 벡터장과 1-형식
10.4 성분, 스칼라곱
10.5 코시-리만 방정식
제11장 다원수
11.1 4원수의 대수학
11.2 물리학에서 4원수의 역할
11.3 4원수의 기하학
11.4 3차원 회전
11.5 클리포드 대수
11.6 그라스만 대수
제12장 n차원 다양체
12.1 고차원 다양체를 알아야 하는 이유
12.2 다양체와 좌표조각
12.3 스칼라, 벡터, 코벡터
12.4 스라스만곱
12.5 형식의 적분
12.6 외미분
12.7 부피요소 : 합규약
12.8 텐서 : 추상 - 지표와 다이어그램 표기법
12.9 복소다양체
제13장 대칭군
13.1 변환군
13.2 부분군과 단순군
13.3 선형변환과 행렬
13.4 행렬식과 대각합
13.5 고유값과 고유벡터
13.6 표현론과 리대수
13.7 텐서 표현공간 : 가약성
13.8 직교군
13.9 유니터리군
13.10 심플렉틱군(사교군)
제14장 다양체 위에서의 미적분
14.1 다양체 위에서의 미분?
14.2 평행이동
14.3 공변미분
14.4 곡률과 꼬임률
14.5 측지선, 평행사변형, 곡률
14.6 리 도함수
14.7 계량의 용도는 무엇인가?
14.8 심플렉틱 다양체
제15장 파이버번들과 게이지 접속
15.1 파이버번들의 물리적 의미
15.2 번들의 수학적 개념
15.3 번들의 절단면
15.4 클리포드 - 호프 번들
15.5 복소 벡터번들과 여접변들 사영공간
15.6 자명하지 않은 번들 접속
15.7 번들 곡률
제16장 무한대로 가는 사다리
16.1 유한체
16.2 물리학의 유한/무한 기하학?
16.3 다양한 크기의 무한대
16.4 칸토어의 대각 슬래쉬
16.5 수학의 기초를 위협하는 난제
16.6 튜링머신과 괴델의 정리
16.7 무한대의 크기
제17장 시공간
17.1 아리스토텔레스의 시공간
17.2 갈릴레오의 상대성에의한 시공간
17.3 뉴턴의 역학과 시공간
17.4 등가원리
17.5 카르탕의 뉴턴 시공간
17.6 변하지 않는 유한한 광속
17.7 빛원뿔
17.8 절대시간 개념을 포기하다
17.9 아인슈타인의 일반상대성이론과 휘어진 시공간
제18장 민코프스키 기하학
18.1 유클리드 및 민코프스키 4차원 공간
18.2 민코프스키 공간의 대칭군
18.3 로렌츠 직교성 : 시계역설
18.4 민코프스키 공간의 쌍곡기하학
18.5 리만 구면의 관점에서 바라본 천구(天球)
18.6 뉴턴 역학의 에너지와 (각)운동량
18.7 상대론적 에너지와 (각)운동량
제19장 맥스웰과 아인슈타인의 고전적 장(場)
19.1 뉴턴 역학과 동 떨어진 곳에서 일어난 혁명
19.2 맥스웰의 전자기이론
19.3 맥스웰 이론의 보존법칙과 선속법칙
19.4 맥스웰장과 게이지 곡률
19.5 에너지-운동량 텐서
19.6 아인슈타인의 장방정식
19.7 우주상수와 바일텐서
19.8 중력장 에너지
제20장 라그랑지안과 해밀토니안
20.1 마술 같은 라그랑지안 역학체계
20.2 더욱 대칭적인 해밀토니안 체계
20.3 작은 진동
20.4 심플렉틱 기하학적 관점에서 바라본 해밀토니안 역학
20.5 라그랑지안 체계에서 장을 다루는 방법
20.6 현대물리학의 라그랑지안
참고문헌
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감사의 글
기호설명
입문
제1장 과학의 뿌리
1.1 이 세계를 지금과 같은 모습으로 만든 힘의 원천은 무엇인가?
1.2 수학적 진리
1.3 플라톤의 이상적 수학세계는 정말로 존재하는가?
1.4 세 가지 세계와 세 개의 미스터리
1.5 선과 진리, 그리고 아름다움
제2장 고대의 정리와 현대의 질문
2.1 피타고라스의 정리
2.2 유클리드의 공준
2.3 닮음을 이용한 피타고라스 정리의 증명
2.4 쌍곡기하학과 등각표현
2.5 쌍곡기하학의 다른 표현법
2.6 쌍곡기하학의 역사
2.7 물리적 공간과의 관계
제3장 물리적 세계에 존재하는 수(數)
3.1 피타고라스에게 닥친 대 재난
3.2 실수체계
3.3 현실세계에 존재하는 실수(實數)
3.4 자연수는 물리적 세계 없이도 존재할 수 있을까?
3.5 물리적 세계에 존재하는 불연속 수
제4장 마법 같은 복소수
4.1 마법의 수I
4.2 복소수를 이용한 방정식 해법
4.3 멱급수의 수렴
4.4 캐스퍼 베셀의 복소평면
4.5 만델브로트 집합
제5장 로그, 지수, 제곱근의 기하학적 성질
5.1 복소대수의 기하학적 성질
5.2 복소 로그함수
5.3 다가성(多價性, multiple valuedness), 자연로그
5.4 복소지수
5.5 현대입자물리학과 복소수의 관계
제6장 실함수의 미분과 적분
6.1 함수란 무엇인가?
6.2 함수의 기울기
6.3 고계 도함수 : C-매끈한 함수
6.4 함수에 대한 오일러식개념
6.5 미분과 관련된 공식들
6.6 적분
제7장 복소함수의 미분과 적분
7.1 복소함수의 매끈함 : 복소해석함수
7.2 경로적분
7.3 매끈한 복소함수의 멱급수 전개
7.4 해석적 접속
제8장 리만 곡면과 복소사상
8.1 리만 곡면의 기본개념
8.2 등각사상
8.3 리만 구면
8.4 컴팩트 리만 곡면의 종류
8.5 리만사상 정리
제9장 푸리에 분해와 초함수
9.1 푸리에 급수
9.2 원주 상에서 정의된 함수
9.3 리만 구면의 진동수 분할
9.4 푸리에 변환
9.5 푸리에 변환의 진동수 분할
9.6 어떤 함수가 적절한가?
9.7 초함수
제10장 곡면
10.1 복소차원과 실차원
10.2 함수의 매끈함과 편미분
10.3 벡터장과 1-형식
10.4 성분, 스칼라곱
10.5 코시-리만 방정식
제11장 다원수
11.1 4원수의 대수학
11.2 물리학에서 4원수의 역할
11.3 4원수의 기하학
11.4 3차원 회전
11.5 클리포드 대수
11.6 그라스만 대수
제12장 n차원 다양체
12.1 고차원 다양체를 알아야 하는 이유
12.2 다양체와 좌표조각
12.3 스칼라, 벡터, 코벡터
12.4 스라스만곱
12.5 형식의 적분
12.6 외미분
12.7 부피요소 : 합규약
12.8 텐서 : 추상 - 지표와 다이어그램 표기법
12.9 복소다양체
제13장 대칭군
13.1 변환군
13.2 부분군과 단순군
13.3 선형변환과 행렬
13.4 행렬식과 대각합
13.5 고유값과 고유벡터
13.6 표현론과 리대수
13.7 텐서 표현공간 : 가약성
13.8 직교군
13.9 유니터리군
13.10 심플렉틱군(사교군)
제14장 다양체 위에서의 미적분
14.1 다양체 위에서의 미분?
14.2 평행이동
14.3 공변미분
14.4 곡률과 꼬임률
14.5 측지선, 평행사변형, 곡률
14.6 리 도함수
14.7 계량의 용도는 무엇인가?
14.8 심플렉틱 다양체
제15장 파이버번들과 게이지 접속
15.1 파이버번들의 물리적 의미
15.2 번들의 수학적 개념
15.3 번들의 절단면
15.4 클리포드 - 호프 번들
15.5 복소 벡터번들과 여접변들 사영공간
15.6 자명하지 않은 번들 접속
15.7 번들 곡률
제16장 무한대로 가는 사다리
16.1 유한체
16.2 물리학의 유한/무한 기하학?
16.3 다양한 크기의 무한대
16.4 칸토어의 대각 슬래쉬
16.5 수학의 기초를 위협하는 난제
16.6 튜링머신과 괴델의 정리
16.7 무한대의 크기
제17장 시공간
17.1 아리스토텔레스의 시공간
17.2 갈릴레오의 상대성에의한 시공간
17.3 뉴턴의 역학과 시공간
17.4 등가원리
17.5 카르탕의 뉴턴 시공간
17.6 변하지 않는 유한한 광속
17.7 빛원뿔
17.8 절대시간 개념을 포기하다
17.9 아인슈타인의 일반상대성이론과 휘어진 시공간
제18장 민코프스키 기하학
18.1 유클리드 및 민코프스키 4차원 공간
18.2 민코프스키 공간의 대칭군
18.3 로렌츠 직교성 : 시계역설
18.4 민코프스키 공간의 쌍곡기하학
18.5 리만 구면의 관점에서 바라본 천구(天球)
18.6 뉴턴 역학의 에너지와 (각)운동량
18.7 상대론적 에너지와 (각)운동량
제19장 맥스웰과 아인슈타인의 고전적 장(場)
19.1 뉴턴 역학과 동 떨어진 곳에서 일어난 혁명
19.2 맥스웰의 전자기이론
19.3 맥스웰 이론의 보존법칙과 선속법칙
19.4 맥스웰장과 게이지 곡률
19.5 에너지-운동량 텐서
19.6 아인슈타인의 장방정식
19.7 우주상수와 바일텐서
19.8 중력장 에너지
제20장 라그랑지안과 해밀토니안
20.1 마술 같은 라그랑지안 역학체계
20.2 더욱 대칭적인 해밀토니안 체계
20.3 작은 진동
20.4 심플렉틱 기하학적 관점에서 바라본 해밀토니안 역학
20.5 라그랑지안 체계에서 장을 다루는 방법
20.6 현대물리학의 라그랑지안
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